Introducción a la lógica matemática - Cap. 3 Certeza y Validez

Certeza y Validez

Hemos aprendido a demostrar la validez de inferencia casi de forma análoga a como se aprende a jugar un juego. Se parte de premisas dadas y el objetivo es alcanzar una conclusión particular. El camino que se sigue para ello es seguir proposiciones, de otras proposiciones que ya se han obtenido utilizando las reglas de inferencia. Cada movimiento que se realiza ha de estar permitido por una regla.
En una demostración formal se ha de justificar cada paso que se dé haciendo referencia a una regla de inferencia. También se ha de justificar las proposiciones de las que se ha deducido la nueva proposición. Las reglas permiten hacer muchos movimientos, pero la estrategia estriba en hacer aquellos que conducen al objetivo, la conclusión deseada.
La idea de inferencia se resume en esta forma:

De premisas ciertas se obtienen sólo conclusiones ciertas

Puesto que las reglas de inferencia válida, permiten deducir sólo consecuencias ciertas de premisas ciertas, si se encuentra un caso en el que se ha deducido una conclusión falsa de premisas ciertas se sabe que la inferencia no es válida. Así, si se asignan valores de certeza y la conclusión falsa, se ha demostrado la no validez del razonamiento.
Además del método directo de demostración se puede utilizar con frecuencia la regla que permite introducir una premisa en la demostración. En una demostración condicional, por ejemplo, se introduce el antecedente de la conclusión (cuando es una proposición condicional) como premisa, y, si se puede deducir el consecuente, entonces se ha demostrado que la proposición condicional es consecuencia de las premisas originales. En una demostración indirecta, si introduciendo la negación de la conclusión deseada se puede deducir una contradicción de la forma P & ¬P, entonces se puede afirmar la conclusión deseada por la regla de reducción al absurdo
Algunas veces no se desea deducir una conclusión de un conjunto de premisas, y lo que se busca es determinar si un conjunto de premisas es consistente o inconsistente. Se demuestra que las premisas son inconsistentes si se puede deducir de ellas una contradicción de la forma P & ¬P. Entonces se sabe que todas las premisas no pueden ser simultáneamente ciertas.
Para demostrar la consistencia de premisas se halla una asignación de certeza en la que todas las premisas sean simultáneamente ciertas.
La teoría de la inferencia, de la que nos hemos ocupado hasta ahora, es la teoría proposicional de inferencia.

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